Таємне життя розуму : як ми мислимо, відчуваємо й вирішуємо, Маріано Сігман

Приклад ґрунтовно вивченої культури для дослідження математичного мислення — плем’я мундуруку, яке живе в нетрях бразильської Амазонії. Культура мундуруку дуже багата й давня, а математичні уявлення в ній суттєво відрізняються від тих, які ми успадкували від греків та арабів. Наприклад, у цього племені немає слів для більшості чисел. Мундуруку мають слова — для називання одиниці (пуґ ма), двійки (ксепксеп), трійки (ебадіпдіп) — і все. Також існують лексеми на позначення приблизної кількості, наприклад пуґ поґбі (жменя), адесу (кілька) і адема (досить багато). Інакше кажучи, їхня математика приблизна, а не точна. Мова племені дозволяє розрізнити багато й мало, але сказати нею, що дев’ять мінус два дорівнює сім, неможливо. «Сім», «тридцять», «п’ятнадцять» у мові мундуруку просто не існують.

Небагата ця мова й на геометричні поняття. Невже це означає, що уявлення про лінії й фігури в поселеннях мундуруку та Бостоні зовсім різні? Відповідь — «ні». Психолог Елізабет Спелкі виявила, що діти мундуруку й діти з Бостона з однаковою успішністю розв’язують геометричні задачі, які виражені візуально, а не вербально. Навіть більше: завдання, що є легким для маленького бостонця (наприклад, знайти серед різних кутів прямі), не становить труднощів і для дитини мундуруку. Складніші задачі, як-от визначити симетричні елементи з-поміж несиметричних, викликають труднощі в обох груп.

Математичні уявлення характерні для всіх культур і реалізуються з дитинства. Арифметика виростає з внутрішнього чуття щодо побачених предметів: великих, маленьких, віддалених, круглих, прямих, а також простору й руху. Майже у всіх культурах числа виражені за допомогою лінії. Додавати означає рухатися вздовж неї, зазвичай праворуч, а віднімати — у протилежному напрямку. Це чуття вроджене й розвивається самостійно, без жодних зовнішніх інструкцій. Звісно, згодом комплекс сформованих уявлень увінчує формальна освіта.

Якщо порівняти дорослих із Бостона й поселень мундуруку, перші розв’язують геометричні задачі набагато ефективніше. Цей результат підтверджує очевидну істину: людина, яка роками опановує ремесло, має кращі результати. Цікаво й показово, що, хоча освіта поліпшує вміння розв’язувати задачі, вона не скасовує ієрархію складності. Тому проблеми, розв’язати які в дитинстві здавалося неможливим, у дорослому віці все ще потребують значних зусиль.

Отже, коли люди дізнаю´ться щось нове, вони аналізують його з позицій власних концептуальних рамок, сформованих на підставі ранніх, можливо, навіть вроджених інтуїтивних знань. Дорослішаючи й навчаючись, ми переживаємо кілька концептуальних революцій, які змінюють попередню систему понять і репрезентацію світу. Але старі інтуїтивні уявлення залишаються. Часом дитячий підхід до розв’язання проблем можна простежити в дорослих, навіть досвідчених експертів і видатних мислителів певної сфери. Багатоаспектні й складні проблеми залишаються такими впродовж усього освітнього процесу. Осягнення того, як працює комплекс інтуїтивних уявлень у людському розумі, — це прямий шлях до вдосконалення методів навчання.

Жести і слова

Вище я описував навчання як процес передавання міркувань у зорову кору, яка реалізує їх паралельно, швидко й ефективно. А тепер розглянемо протилежний процес, за допомогою якого ми поповнюємо свій арсенал символами, здатними описати вроджені візуальні образи.

Ми з Ліз Спелкі й Сесілією Калеро дослідили процес перетворення інтуїтивного чуття на правила й слова. Згідно з нашою теорією засвоєння знань відбувається у два етапи. Перший — здогад: тіло знає відповідь, але не може її вербально сформулювати. Тільки на другому етапі міркування експліцитно виражається в правилах, які ми можемо описати собі й іншим. У нас була ще одна теорія, яка зародилася в пустелі Атакама, коли чудова дослідниця когнітивного розвитку людини Сьюзен Ґолден-Мідоу розповіла нам про неймовірне відкриття, яке вона зробила, відтворивши старий дослід Жана Піаже.

▶ В експерименті швейцарського психолога дітям показували два ряди камінців і запитували, у якому їх більше. Насправді в обох лініях була однакова кількість камінців, просто в одній вони були розставлені через більші проміжки. Шестирічні діти через притаманне всім людям уявлення про тотожність довжини й кількості постійно вибирали довший ряд.

Сьюзен виявила в класичному експерименті непомітну, але дуже важливу деталь. Коли діти казали, що в довшому ряду більше камінців, вони супроводжували свою відповідь досить різними жестами. Одні розмахували руками в різні боки, щоб показати, що один ряд довший. Інші проводили долонями лінії, аби встановити відповідність між камінцями у двох рядах. Останні насправді виявили сутність проблеми. Вони не могли виразити своє розуміння словами, але робили це мовою тіла. І цій другій групі дітей допомагав сократичний діалог. Вистачило невеличкої підказки від учителя, щоб вони висловили знання, яке вже мали. Це відкриття — не просто цікавий матеріал для роздумів. Використовуючи здобуту інформацію, ми можемо ефективніше навчати інших.

Завдяки ретельному спостереженню Сьюзен виявила, що жести й слова говорять про зовсім різне. Тоді ми вирішили дослідити, як діти виражають свої знання з геометрії на трьох рівнях: вибору, обґрунтування й рухів.

▶ У нашому експерименті діти дістали завдання вибрати з шести карток зайву, яка не відображає геометричної властивості, наявної на інших. Наприклад, на п’яти картках було зображено по дві паралельні лінії, а на шостій — дві скісні у формі V. Більш ніж половина дітей віком до чотирьох років вибрала єдину картку з непаралельними прямими. Інші відповіли неправильно, але не навгад.

Дехто вибирав картку з найбільшим проміжком між прямими. Чи ту, на якій були найдовші лінії. Ці діти зосередилися на несуттєвих аспектах проблеми. Більшість із них розбірливо пояснювали свій вибір, використовуючи лексеми на позначення розміру. Слова не суперечили дії. Але руки дітей мали зовсім іншу думку. Вони рухалися, то формуючи V-подібну фігуру, то паралельні лінії. Тобто жести свідчили, що діти вловили справжню геометричну закономірність. Якби це був іспит, то усна відповідь стала б провалом, але рухи рук здобули б прохідний бал.

Ми досі не знаємо, ні які церебральні механізми зумовлюють те, що геометрична інформація виявляється через жести або здійснення певного вибору, а не через мовлення, ні що саме відбувається в мозку в мить, коли дитина комплексно вловлює свої уявлення й дістає здатність їх висловити.

Експерименти, які вимірюють знання на рівні слів, учинків і жестів, допомагають зрозуміти, як ми вчимося формувати поняття. Деякі з них, наприклад форма, належать до базового набору уявлень, доступних для внутрішнього знання, і тільки на пізніших етапах розвитку отримують експліцитне вираження. Маленькі діти легко визначають фігуру іншої форми, навіть якщо не можуть викласти геометричну аргументацію власного вибору іншим і, напевне, самим собі.

Розвиток деяких геометричних понять, наприклад кутів, відбувається за іншою схемою. Вони вперше виявляються